1. Analyse mécanique de la torsion 1. Forme de torsion (1) Convention sur les symboles de couple Fig. 1 direction et symbole du couple (2) Déformation en torsion d'une barre de section circulaire Après la torsion d'un arbre de section circulaire, la forme et la taille de la section restent inchangées et elle reste plate. Le rayon de la section reste [...]
(1) Convention sur les symboles de couple
Fig. 1 direction et symbole du couple
(2) Déformation en torsion d'une barre de section circulaire
Après la torsion d'un arbre à section circulaire, la forme et la taille de la section restent inchangées et la section reste plate. Le rayon de la section reste l'axe autour duquel la section est tordue, et chaque section ne tourne que d'un petit angle γ l'une par rapport à l'autre.
Fig. 2 Déformation en torsion d'une barre de section circulaire
(3) Torsion d'une barre à section non circulaire
Fig. 3 Déformation en torsion d'une barre carrée
Torsion libre :
Lorsqu'une barre a une section transversale non circulaire, elle se déforme lors de la déformation par torsion. Le degré de gauchissement des sections transversales adjacentes sera le même, ce qui signifie que la longueur de toutes les fibres longitudinales de la barre ne changera pas. Dans ce scénario, il n'y aura pas de contrainte normale sur la section transversale, mais uniquement une contrainte de cisaillement.
Pour obtenir une torsion libre, les deux extrémités de la barre droite doivent être soumises à un couple externe, et le gauchissement des sections adjacentes ne doit pas être contraint de l'extérieur.
Torsion contrainte :
Lorsqu'une barre droite non uniforme est tordue, le couple appliqué varie sur toute la longueur de la barre. Si une extrémité de la barre est fixe et ne peut pas bouger, le degré de déformation des sections adjacentes de la barre sera différent. En plus de la contrainte de cisaillement, il y aura également une contrainte normale sur la section transversale de la barre.
Normalement, la contrainte normale causée par la torsion restreinte dans une barre solide est faible et peut être négligée. Cependant, pour les barres à parois minces, cette contrainte normale est souvent trop importante pour être ignorée.
(1) Hypothèse de l'avion
Après la torsion, la section circulaire reste plate et sa forme, sa taille et son rayon restent inchangés. Les sections ne tournent l'une par rapport à l'autre que d'un petit angle γ. Toutefois, cette hypothèse ne s'applique qu'à l'axe de la section circulaire et non à l'axe des sections non circulaires.
L'espacement entre les sections adjacentes reste le même, sauf lorsque τzx = τzy, ce qui indique l'absence de contrainte normale.
σ x= σ y= σ z= τ xy=0.
Le modèle d'élasticité est illustré à la figure 4.
Fig. 4 Modèle mécanique élastique de torsion d'une barre droite
(2) Manalogie avec l'embrane
Prandtl a fait remarquer que l'affaissement d'un mince film liquide, également appelé membrane, soumis à une pression uniforme est mathématiquement similaire à la fonction de contrainte dans le problème de torsion d'une barre droite de même section.
La comparaison entre la barre de torsion et la membrane peut aider à résoudre le problème de torsion.
Dans la figure 5, un film uniforme est étiré sur une frontière horizontale, qui a la même forme et la même taille que la frontière transversale d'une barre de torsion.
Lorsqu'une petite pression uniforme est appliquée au film, chaque point du film subit un léger affaissement.
Si le plan où se trouve la frontière est le plan xy, la flèche peut être représentée par z.
En raison de la nature flexible du film, on suppose qu'il ne peut pas résister à un moment de flexion, à un couple, à une force de cisaillement ou à une pression. Il ne supporte qu'une force de traction uniforme FT, qui est similaire à la tension superficielle d'un film liquide.
Selon cette analyse, la contrainte de cisaillement en tout point de la section transversale de la barre de torsion, suivant n'importe quelle direction, est égale à la pente du film dans la direction verticale en ce point.
On constate que la contrainte de cisaillement maximale sur la section transversale de la barre de torsion est égale à la pente maximale de la membrane. Toutefois, il convient de noter que la direction de la contrainte de cisaillement maximale est perpendiculaire à la direction de la pente maximale.
En faisant cette hypothèse, il est possible de déterminer la contrainte de cisaillement maximale et l'angle de torsion relatif de la barre droite à section non circulaire énumérée dans le tableau 1 ci-dessous.
Fig. 5 Modèle d'analogie de la membrane
(1) Arbre circulaire plein
Selon les hypothèses 1 et 2, les propriétés mécaniques des matériaux plastiques en cisaillement pur lorsque les matériaux constitutifs se situent dans le domaine élastique :
τ= G γ，γ est la déformation de cisaillement ;
γ=φ R/L（ γ est l'angle de torsion relatif de deux sections à une distance L ;
φ est l'angle de la face frontale de l'extrémité de torsion, R est le rayon extérieur du cercle et L est l'espacement entre deux sections).
Fig. 6 Schéma de la torsion d'une barre à section circulaire pleine
La contrainte de cisaillement à ρ sur la section circulaire est :
Dans les mêmes conditions de couple, la contrainte de cisaillement (τ) sur une barre de section circulaire est proportionnelle à la distance par rapport au centre de la section (ρ). Cela signifie que plus la distance par rapport au centre est grande, plus la contrainte de cisaillement est élevée.
Lorsque la distance au centre est égale au rayon (R) de la section circulaire, la contrainte de cisaillement maximale est obtenue au bord.
Le module de torsion (Wp) d'un arbre circulaire peut être exprimé comme IP/R, où IP est le moment d'inertie polaire. Cette valeur n'est liée qu'aux dimensions géométriques de la section et non à la surface de la section transversale.
La contrainte de cisaillement maximale (τ max) peut être calculée comme T/WP, où T est le couple appliqué.
Pour un arbre plein de section circulaire, le module de torsion (WP) est approximativement égal à 0,2 fois le cube du diamètre (D).
L'angle de torsion (φ) d'une barre ronde soumise à une torsion est lié à la rigidité à la torsion (GIP) de la section circulaire, qui reflète la capacité de l'arbre à résister à la déformation.
Les angles de torsion relatifs de deux sections à une distance L peuvent être calculés à l'aide d'une formule de torsion.
Angle de torsion relatif :
Condition de rigidité de l'arbre circulaire :
(2) Arbre circulaire creux
Le coefficient de torsion de la section de l'arbre circulaire creux est d'environ : WP ≈ 0.2D3 (1- α 4），0< α= d/D＜1.
Lorsque α= 0,8, le WP est de 60% de la section circulaire solide, c'est-à-dire que sous le même couple, la résistance diminue de 40%, mais sous le même matériau et la même longueur, la différence de poids est de 2,8 fois.
(3) Tube fermé à paroi mince
Un tube rond dont l'épaisseur de la paroi (a) est très inférieure à son rayon (R0) - généralement considéré comme ≤ R0/10 - est appelé tube rond à paroi mince. Ce type de tuyau peut être de n'importe quelle forme et de n'importe quelle section.
S'agissant d'un tuyau à paroi mince, on suppose que la contrainte de cisaillement est uniformément répartie sur toute l'épaisseur de la paroi (t) afin d'obtenir une solution approximative.
En appliquant la règle de la contrainte de cisaillement réciproque, on peut conclure que le produit de la contrainte de cisaillement axiale moyenne de tous les points de la section de la conduite et de la paroi de la conduite est égal, c'est-à-dire que le flux de cisaillement (q) est constant.
Comme la valeur de q est constante sur toute la section, la contrainte de cisaillement maximale se situe à l'épaisseur minimale de la paroi.
Lorsque la section du tuyau est circulaire, sa surface (Am) est égale à πR0². L'augmentation du diamètre du cylindre peut réduire de manière significative la contrainte de cisaillement.
Fig. 6 Distribution des contraintes de cisaillement pour plusieurs sections courantes
Lors de l'essai de torsion, la répartition des contraintes sur la section transversale de l'échantillon est inégale. La surface subit la plus grande quantité de contraintes et, à mesure que l'on se rapproche du centre, les contraintes diminuent.
Par conséquent, lorsque le matériau est tordu, le dommage commence par la couche la plus externe de la tige ronde et progresse vers l'intérieur. La fissure part de la couche superficielle et se propage vers l'intérieur.
En ingénierie, l'essai de torsion est couramment utilisé pour examiner les défauts de surface et les performances des produits de l'industrie automobile. durcissement de la surface les couches de matériaux.
Comme le montre la figure 7.
Fig. 7 Essai de torsion d'un échantillon de barre ronde
Lors du processus de torsion d'un arbre circulaire fabriqué à partir de matériaux plastiques tels que l'acier à faible teneur en carbone, la surface de l'arbre cède d'abord, puis la circonférence est coupée le long de la section au fur et à mesure que la déformation de torsion augmente.
Cela est dû au fait que la capacité de cisaillement du matériau est inférieure à sa capacité de traction, et que la contrainte de cisaillement maximale se produit sur la section transversale, ce qui entraîne une rupture par cisaillement.
En ingénierie, la contrainte de cisaillement maximale sur le bord extérieur de la section transversale est généralement fixée à la limite d'élasticité en cisaillement du matériau (τs) en tant qu'état dangereux, et la condition de résistance est établie sur cette base.
Cependant, même lorsque la contrainte de cisaillement sur le bord atteint la limite d'élasticité, les autres pièces sont toujours dans l'état de fonctionnement élastique linéaire, et la tige ronde ne subit pas de déformation plastique évidente, ce qui permet au couple de continuer à augmenter.
Si l'on tient compte de la plasticité du matériau, le couple ultime (couple plastique) d'une tige ronde solide est supérieur d'un tiers au couple d'élasticité (qui est le résultat d'un calcul technique simplifié).
Lorsque la contrainte de cisaillement au bord de la section transversale du matériau atteint la limite d'élasticité en cisaillement du matériau τs, la région plastique s'étend progressivement vers l'intérieur avec l'augmentation du moment de couple de torsion, et le matériau au bord de la section transversale commence à se renforcer.
Si le moment de torsion continue d'augmenter, la fissure partira de la couche la plus externe de la tige ronde et finira par se cisailler le long de la section transversale.
Comme le montre la figure 8.
Fig. 8 Essai de torsion d'un échantillon de barre ronde en matière plastique
Dans le cas d'un arbre rond constitué de matériaux fragiles, tels que la fonte, dont la capacité de traction est inférieure à la capacité de cisaillement, la déformation lors de la rupture par torsion est minime. L'arbre a tendance à se rompre sur la surface hélicoïdale à un angle d'environ 45° par rapport à l'axe.
En effet, le plan incliné à 135° par rapport à l'axe subit la contrainte de traction maximale. Si la contrainte de traction maximale sur cette section dépasse la limite de résistance à la traction du matériau, l'arbre se rompra en raison de la tension sur cette section.
Comme le montre la figure 9.
Fig. 9 Essai de torsion d'un échantillon de barre ronde en matériau fragile
Le couple interne T reçu par la tige de bille génère non seulement une distribution linéaire radiale de la contrainte de cisaillement sur la section transversale, mais induit également une contrainte de cisaillement correspondante le long du plan axial, ce qui peut conduire à une fissuration le long du plan axial.
Le bois étant un matériau anisotrope, la force de cisaillement parallèle aux fibres le long de la direction axiale est beaucoup plus faible que la force de cisaillement perpendiculaire aux fibres dans la section transversale, ce qui entraîne le schéma de fissuration illustré à la figure 10.
Fig. 10 Rupture en torsion de la bille
La figure illustre les formules de calcul de la contrainte maximale et de l'angle de torsion des sections carrées, triangulaires et elliptiques, conformément à l'analyse de la théorie de l'élasticité.
Dans tous les cas susmentionnés, la contrainte de cisaillement maximale se produit à la ligne de démarcation de la section la plus proche de l'axe central.
Pour un tuyau fermé à paroi mince, la position où l'épaisseur de la paroi est la plus faible par rapport à l'axe central subit la contrainte de cisaillement la plus élevée.
Fig. 11 Formule de calcul de la contrainte de cisaillement de torsion et de l'angle de torsion relatif de différentes sections
Soit S la surface d'un cercle, d'un carré, d'un triangle et d'une ellipse, tous soumis au même couple T.
La longueur du côté d'un carré est a = √S, tandis que la longueur du côté d'un triangle équilatéral est approximativement a ≈ 2,3√S.
En utilisant la formule de calcul de la contrainte maximale fournie dans la figure, la contrainte de cisaillement maximale sur la section transversale d'un triangle équilatéral est environ 1,8 fois supérieure à celle d'un carré lorsqu'il est soumis à la même surface de section et au même couple.
Pour une ellipse avec a = b, ce qui en fait un cercle, a = 0,56√S, et la contrainte de cisaillement maximale sur un carré est environ 1,32 fois celle d'un cercle.
Si l'ellipse a ≠ b, avec 1 > b/a = λ > 0, le rapport de la contrainte de cisaillement maximale sur l'ellipse à la contrainte de cisaillement maximale sur le cercle est λ√S-2. Ainsi, plus la valeur de λ est petite, plus la contrainte de cisaillement est importante.
La comparaison ci-dessus permet de conclure que :
Lorsqu'un arbre a la même section et supporte le même couple, la contrainte de cisaillement maximale sur la section circulaire est la plus faible par rapport à une section non circulaire. En outre, l'angle de torsion est également plus faible. Ainsi, un arbre de transmission circulaire présente un avantage naturel en termes de performances mécaniques de torsion.
Si l'on étend ces résultats à des sections transversales arbitraires, on peut prouver que l'arbre à section circulaire a le rendement le plus élevé.
Lorsqu'un arbre a la même section et supporte le même couple, la contrainte de cisaillement maximale sur la section circulaire est la plus faible par rapport à une section non circulaire. En outre, l'angle de torsion est également plus faible. Ainsi, un arbre de transmission circulaire présente un avantage naturel en termes de performances mécaniques de torsion.
Si l'on étend ces résultats à des sections transversales arbitraires, on peut prouver que l'arbre à section circulaire a le rendement le plus élevé.
Tableau 1 Formule de contrôle du couple pour le diamètre de l'arbre
|
Type d'essieu |
formule |
instruction |
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arbre solide |
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Où ? d - calculer le diamètre de l'arbre au niveau de la section （mm） Couple nominal transmis par l'arbre （N-mm） T=9550000P/n Puissance nominale transmise par l'arbre （kW） Vitesse de l'arbre n (R / min) [T] - contrainte de cisaillement admissible de l'arbre （MPa） A - coefficient déterminé par [t], Rapport V du diamètre intérieur d0 au diamètre extérieur D de l'arbre circulaire creux |
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axe creux |
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La contrainte de cisaillement superficielle d'un arbre à section circulaire est élevée, et le centre est relativement petit lorsqu'il supporte une charge de torsion. Par conséquent, l'élimination d'une partie du matériau qui ne joue pas pleinement son rôle au centre permet de réduire efficacement le poids de l'arbre et d'améliorer sa résistance à la flexion.
Cependant, la décision de rendre les pièces de l'arbre creuses ou non nécessite de prendre en compte non seulement les facteurs mécaniques, mais aussi les coûts technologiques et de fabrication. Il est important de noter que l'épaisseur de la paroi ne doit pas être trop fine, sinon des plis locaux peuvent se produire, entraînant une perte de capacité de charge.
Lorsque l'épaisseur de la paroi (δ) du cylindre est beaucoup plus petite que le rayon (R0), qui est généralement considéré comme étant ≤ R0/10, on parle de cylindre à paroi mince. Toutefois, si le tube à paroi mince présente une ouverture longitudinale le long de l'axe, sa résistance à la torsion diminuera considérablement. Par conséquent, un diaphragme est généralement ajouté pour améliorer sa résistance à la torsion. rigidité et résistance.
Un arbre est généralement composé de plusieurs sections, et la concentration de contraintes à la position de transition entre ces sections est une cause fréquente de défaillance des pièces de l'arbre.
On peut se référer à la littérature pour savoir comment choisir et déterminer le grand diamètre de deux sections adjacentes et le congé de transition.
Le ressort hélicoïdal cylindrique est un composant courant en ingénierie mécanique, caractérisé par son axe en spirale et sa grande déformation élastique.
Dans la conception de un printemps avec une capacité de charge élevée, la résistance est généralement le principal facteur à prendre en compte. En revanche, pour un ressort à faible capacité de charge, la déformation est généralement le principal facteur à prendre en compte.
Pour les ressorts moins critiques, la sélection peut être basée uniquement sur les dimensions et les spécifications de la structure.
Pour plus d'informations sur les méthodes de conception et de calcul des ressorts, veuillez vous référer à la littérature pertinente, ainsi qu'aux normes de la série GB/T1239, GB/T2089, DIN2089 et autres normes applicables.
Sous l'action d'une charge statique, il existe une certaine relation entre les propriétés mécaniques des matériaux en torsion et en traction, de sorte que [σ] des matériaux est utilisée pour déterminer la contrainte de cisaillement admissible[ τ]：
| Type de matériau | [σ] | [ τ] | [ τ] |
| matière plastique | 1 | 0.5~0.7 [σ] | 0,55 ou 0,577 [σ] |
| Matériau fragile | 1 | 0.7~1.0 [σ] | 0.8~1.0 [σ] |
Le tableau ci-dessus montre que la relation entre la contrainte de cisaillement et la contrainte normale fournie dans la littérature diffère.
Plusieurs matériaux plastiques mentionnés dans la littérature montrent que le rapport entre la contrainte de cisaillement et la contrainte normale doit être compris entre 0,5 et 0,7 [σ].
Toutefois, cette relation est une estimation approximative et ne doit être utilisée que lorsque les données exactes sur la contrainte de cisaillement ne sont pas disponibles.
Pour une vérification précise, il est nécessaire d'obtenir la valeur de la résistance à la torsion spécifique du matériau.
En tant que fondateur de MachineMFG, j'ai consacré plus d'une décennie de ma carrière à l'industrie métallurgique. Ma vaste expérience m'a permis de devenir un expert dans les domaines de la fabrication de tôles, de l'usinage, de l'ingénierie mécanique et des machines-outils pour les métaux. Je suis constamment en train de réfléchir, de lire et d'écrire sur ces sujets, m'efforçant constamment de rester à la pointe de mon domaine. Laissez mes connaissances et mon expertise être un atout pour votre entreprise.
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