빔의 굽힘 전단 응력 및 강도 계산을 위한 전문가 가이드

횡력을 받는 보의 단면에는 굽힘 모멘트와 전단력이 모두 존재하며, 그 결과 횡단면에 정상 응력과 전단 응력이 모두 발생합니다. 몇 가지 일반적인 빔 단면의 굽힘 전단 응력에 대해서는 다음에서 설명합니다.

직사각형 섹션

횡력 굽힘을 받는 빔에서 길이가 dx인 작은 세그먼트가 절단됩니다. 빔에는 하중이 없고 세그먼트 양쪽의 전단력은 같지만 반대 방향입니다. 오른쪽 섹션의 굽힘 모멘트가 왼쪽 섹션의 모멘트보다 크므로 두 섹션의 정상 응력이 달라집니다.

좁은 직사각형 단면의 경우 측면에 전단 응력이 없기 때문에 전단 응력이 빔의 양쪽 경계에 접하게 됩니다. 즉, 빔이 대칭으로 구부러져 경계와 평행하므로 대칭축의 y축에 대한 전단 응력은 y 방향이어야 하며 폭 방향에 따라 거의 변하지 않습니다.

따라서 단면의 전단 응력 분포 법칙에 대해 다음과 같은 가정을 합니다:

• 단면의 각 지점에서의 전단 응력 방향은 전단력과 평행합니다;
• 전단 응력은 단면 폭을 따라 고르게 분포되어 있으며, 즉 중립축에 평행한 수평선의 각 지점에서의 전단 응력은 동일합니다.

단면의 높이 대 너비 비율이 2보다 큰 경우 위의 가정에 따른 해는 탄성 이론의 정확한 해에 비해 충분히 정확합니다.

전단 응력 상호성 정리에 따르면 단면에 수직인 종단면에는 단면의 크기와 같은 전단 응력이 있어야 합니다. 모멘트 중립축을 Y에서 멀어지게 하여 세로 평면을 따라 마이크로 세그먼트를 자르고 세로 평면의 아래쪽에 있는 마이크로 요소를 가져옵니다. 힘은 아래 그림과 같습니다.

왼쪽 섹션에 대한 정상적인 스트레스의 결과적인 힘은 다음과 같습니다:

오른쪽 섹션에 대한 정상적인 응력의 결과 힘은 다음과 같습니다.

두 결과물의 크기가 다르다는 것은 분명합니다. 마이크로 세그먼트의 균형을 유지하려면 세로 부분에 축 방향을 따라 힘이 존재해야 합니다. 이 힘은 전단 응력의 결과로, 세로 단면에 전단 응력이 존재함을 확인합니다.

dx는 소량이므로 세로 평면의 전단 응력이 고르게 분포되도록 합니다.

평형 조건에 따라

즉,

중,

전단 응력의 상호 정리와 전단력과 굽힘 모멘트 사이의 미분 관계에 대해 알아보세요:

그 중:

• b는 섹션에서 모멘트 y의 중립축이 있는 수평선의 너비로, 직사각형 섹션의 경우 일정합니다;
• I_z 는 전체 단면의 중성축 관성 모멘트입니다;
• S_z* 는 횡단면에서 중립축이 Y인 수평선 바깥쪽 영역의 정적 모멘트를 중립축에 대한 단면으로 나타낸 값입니다;
• F_S 는 단면의 전단력입니다.

중,

전단 응력 계산 공식에 대입해 보세요.

전단 응력은 단면 높이를 따라 포물선으로 분포합니다.

y=0일 때, 중립 축에서 단면에 최대 전단 응력이 있습니다.

각도 변형은

각도 변형률도 단면 높이를 따라 포물선으로 분포하는 것을 볼 수 있습니다.

이때 횡력이 휘어지는 단면의 뒤틀림 모양은 아래 그림과 같이 횡력 휘어짐 변형이 평면 가정에 맞지 않음을 확인할 수 있습니다.

전단력이 일정하게 유지되면 연속된 단면의 전단 응력은 동일하고 뒤틀림의 정도도 동일합니다. 단면의 휨으로 인해 세로 섬유의 길이가 변하지 않으므로 추가적인 일반 응력이 발생하지 않습니다. 단면의 위치에 따라 전단력이 변하면 연속된 두 단면의 휨 정도가 달라져 단면에 추가적인 정상 응력이 발생합니다.

다른 모양의 대칭 섹션의 경우 위의 방법을 사용하여 대략적인 전단 응력 솔루션을 도출할 수 있습니다.

직사각형 단면의 경우 응력 계산 공식에서 단면 폭(b)은 일정하고 중성축의 한 쪽 단면적의 절반에서 중성축까지의 정적 모멘트가 가장 큽니다. 결과적으로 중성축의 각 지점에서의 전단 응력이 가장 큽니다.

다른 모양의 대칭 단면의 경우, 단면의 최대 전단 응력은 일반적으로 중립 축의 다양한 지점에 위치하지만, 중립 축에서 폭이 크게 증가한 단면(예: 단면)이나 폭이 가변적인 일부 단면(예: 이등변 삼각형 단면)은 예외입니다.

따라서 I형, 환형 및 원형 단면 빔의 경우 중립축의 각 지점에서의 최대 전단 응력은 주로 아래에서 설명합니다.

원형 섹션

전단 응력의 상호 정리에 따르면 원형 단면의 가장자리에 있는 각 지점에서의 전단 응력은 원주에 접합니다. 대칭축의 각 지점에서 전단 응력은 y 방향이어야 합니다. 전단 응력의 분포는 중립축에서 폭 y를 따라 각 지점에 대해 대칭축의 한 지점에서 수렴한다고 가정할 수 있으며, 폭을 따라 각 지점에서 Y 방향을 따라 전단 응력의 성분은 동일합니다.

원형 단면의 최대 전단 응력은 여전히 중립 축에 있으며, 그 방향은 외력과 평행하며 중립 축의 각 지점에서 동일한 값을 갖습니다.

최대 전단 응력은 다음과 같습니다.

I자형 단면

I자형 단면은 그림과 같이 응력 분포가 있는 벽이 얇은 개방형 단면입니다. 벽 두께에 따른 전단 응력의 크기는 동일하며, 전단 응력 흐름이라고 하며 전단 방향으로 흐릅니다.

플랜지의 Y축에 평행한 전단 응력 구성 요소는 부차적이고 무시할 수 있는 수준이며, 플랜지의 긴 쪽에 평행한 구성 요소에 주로 중점을 둡니다. 웹의 전단 응력은 포물선 분포를 가지며 그 크기는 그림에 나와 있습니다.

최대 전단 응력은 중립 축에 있습니다.

다음과 같은 경우 I자형 강철최대 전단 응력입니다:

여기서, b는 웹의 두께이고, I_z/s*_zmax 프로파일 스틸 테이블을 참조하여 얻을 수 있습니다.

길고 좁은 직사각형 세 개로 구성된 I자형 단면인 경우 웹의 최대 및 최소 전단 응력은 다음과 같이 구할 수 있습니다:

위의 두 공식에서 웹의 폭이 플랜지의 폭보다 훨씬 작기 때문에 웹의 최대 전단 응력이 최소 전단 응력과 크게 다르지 않다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 웹의 전단 응력은 대략 균등하게 분산되어 있다고 볼 수 있습니다.

그 결과 웹에 가해지는 전단 응력은 전체 전단력의 95-97%를 차지하며, 단면의 전단력은 대부분 웹이 부담합니다.

웹은 단면에 거의 모든 전단력을 견디고 웹의 전단 응력은 거의 균등하게 분포되어 있으므로 최대 전단 응력은 전단력을 복극의 단면적로 나누어 대략적으로 계산할 수 있습니다:

동시에, 전체 영역에서 I-빔 플랜지는 중립 축에서 가장 멀리 떨어져 있고 각 지점의 일반 응력이 상대적으로 크므로 플랜지가 섹션에서 대부분의 굽힘 모멘트를 견뎌냅니다.

얇은 벽 환형 단면

얇은 벽의 환형 단면의 두께는 d, 링의 평균 반경은 r, 두께는 평균 반경보다 훨씬 작으므로 두께가 평균 반경보다 훨씬 작다고 가정할 수 있습니다:

단면의 전단 응력은 벽 두께에 따라 동일합니다;

전단 응력의 방향은 단면의 중심선에 접하고, 전단 응력의 흐름 방향은 전단 방향을 따릅니다.

최대 전단 응력은 중립 축에 위치합니다:

여기서, A는 환형 섹션의 면적입니다.

빔의 강도 조건

굽힘 정상 응력 강도 조건:

중립 축 대칭 섹션의 경우 최대 인장 정규 응력과 최대 압축 정규 응력은 동일합니다.

일반적으로 플라스틱 소재와 강도 조건이 사용됩니다:

비대칭 중성축을 가진 단면의 경우 최대 인장 정규 응력과 최대 압축 정규 응력이 같지 않습니다.

부서지기 쉬운 재료와 강도 조건이 일반적으로 사용됩니다:

굽힘 전단 응력의 강도 조건은 다음과 같습니다:

빔의 굽힘 강도를 개선하기 위한 조치

굽힘 정상 응력은 빔을 제어하는 주요 요인입니다.

따라서 굽힘 정상 응력의 강도 조건은 종종 빔 설계의 주요 기준이 됩니다.

강도 조건에서 빔의 지지력을 향상시키기 위해서는 두 가지 측면을 고려해야 합니다:

한편으로는 최대 굽힘 모멘트를 줄이기 위해 빔의 응력을 합리적으로 배치해야 합니다;

한편, 단면의 굽힘 단면 계수를 개선하고 재료의 특성을 최대한 활용하기 위해 합리적인 단면 형상을 채택했습니다.

1. 빔의 응력을 합리적으로 배치합니다.

빔의 응력 상태를 개선하고 빔의 최대 굽힘 모멘트를 줄이도록 노력합니다.

그림과 같이 지지대가 빔의 양쪽 끝 위치에서 일정 거리 안쪽으로 이동하면 균일한 하중을 받는 빔의 최대 굽힘 모멘트가 크게 감소합니다.

예를 들어, 지지점이 가운데로 약간 이동하는 갠트리 크레인의 거더와 원통형 컨테이너는 최대 굽힘 모멘트를 줄이는 효과를 얻을 수 있습니다.

2. 합리적인 빔 섹션

굴곡 단면 계수가 클수록 응력이 작아지고 빔의 지지력이 높아집니다.

예를 들어 빔이 수직 방향으로 하중을 받는 경우, 단면이 수직으로 배치될 때 굽힘 단면 계수가 더 크므로 수평보다 수직으로 배치하는 것이 더 합리적입니다.

섹션의 굽힘 단면 계수를 개선하는 동시에 더 적은 재료를 사용하여 더 나은 경제성을 달성하고자 합니다.

따라서 일반적으로 단면 면적에 대한 굽힘 단면 계수의 비율은 단면 설계의 합리성을 측정하는 데 사용됩니다.

동일한 단면적에서는 원형 단면보다 직사각형 단면(높이가 너비보다 큰)이 더 합리적이며, 직사각형 단면보다 I자형 단면 또는 박스 단면이 더 합리적입니다.

따라서 소재를 최대한 활용하려면 소재를 중립 축에서 최대한 멀리 배치해야 합니다.

섹션의 합리적인 모양에 대해 논의할 때 기계적 특성 도 고려해야 합니다.

인장 및 압축 강도가 동일한 재료(예: 저탄소강)는 원형, 직사각형, I자형, 상자 등 중립 축 비대칭 단면을 채택해야 합니다.

이러한 방식으로 섹션의 상단 및 하단 가장자리에서 최대 인장 응력과 최대 압축 응력이 같을 수 있습니다.

인장 및 압축 강도가 같지 않은 재료(주철, 시멘트 등)의 경우 중성축이 인장 쪽으로 기울어진 단면 모양을 채택해야 합니다.

동일 강도 빔의 개념

위에서 설명한 빔은 모두 동일한 단면이고 굽힘 단면 계수는 일정하지만 일반적으로 빔의 각 단면의 굽힘 모멘트는 단면의 위치에 따라 달라집니다.

동일한 직선 빔의 단면 설계는 최대 굽힘 모멘트에 따라 수행되어야 하며 최대 응력은 허용 응력에 가깝습니다.

다른 섹션의 굽힘 모멘트가 작기 때문에 응력이 적고 재료가 완전히 활용되지 않습니다.

재료를 절약하고 자체 무게를 줄이기 위해 굽힘 모멘트에 따라 굽힘 단면 계수가 변하도록 단면 크기를 변경할 수 있습니다.

굽힘 모멘트가 클수록 큰 섹션이 사용되고 굽힘 모멘트가 작을수록 작은 섹션이 사용됩니다.

축을 따라 단면이 변경되는 이러한 종류의 빔을 가변 단면 빔이라고 합니다.

가변 단면 빔의 각 단면에 대한 최대 정규 응력이 허용 응력과 동일하고 같으면 이를 동일 강도 빔이라고 합니다.