고유 주파수 대 공진 주파수: 차이점 설명

일상적인 분석에서 우리는 종종 고유 주파수와 공진 주파수를 혼동하여 같은 것이라고 생각합니다.

사실 이것은 엄격하지 않습니다.

고유 진동수는 구조적 자연 특성의 성능이고 공명 진동수는 외부 힘에 대한 구조적 응답의 성능입니다.

단일 자유도 스프링 시스템의 자유로운 진동

단일 자유도 시스템은 주어진 시간에 하나의 일반화된 좌표로만 위치를 완전히 결정할 수 있는 시스템입니다. 간단히 말해, 물체에 작용하는 힘은 한 방향으로만 작용합니다. 아래 그림에서 인형의 움직임은 스프링-질량 시스템으로 표현할 수 있습니다.

스프링 질량 시스템의 단순화된 모델은 다음 그림에 나와 있습니다.

픽업 블록의 정적 균형 위치는 좌표 원점으로 간주되며, 스프링 변형 방향을 따라 수직으로 아래쪽으로 이동하면 양수로 간주됩니다. 블록과 균형 위치 사이의 거리는 x로 표현할 수 있으며, 블록의 미분 운동 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

여기서 m은 블록의 질량, k는 스프링 강성, c는 점도 계수, 2n=c/m은 감쇠 계수이며, 감쇠 계수가 0인 경우 감쇠되지 않은 진동 시스템에 해당합니다.

고유 주파수 Pn:

고유 진동수는 질량과 강성에만 의존하며 댐핑과 같은 요인에 영향을 받지 않습니다. 구조적 경계 연결, 재료 속성모양 및 기타 요인이 고유 진동수에 영향을 미칠 수 있지만 이러한 영향은 강성 및 질량에 반영되며 궁극적인 결정 요인은 아닙니다.

고조파 여기 하에서 스프링 시스템의 강제 진동

자유 진동은 외부 여기가 없는 시스템의 진동이며, 모션 트랙은 초기 상태 및 자연 특성과 관련이 있습니다.

강제 진동은 외부 자극을 받는 시스템에서 발생하는 진동을 말합니다.

외부 여기는 일반적으로 시간의 주기적 또는 비주기적 함수이며, 그 중 단순 고조파 여기가 가장 간단합니다.

단순한 고조파 흥분력을 그대로 두십시오:

여기서 H는 여자력의 진폭, ω는 여자력의 각도 주파수입니다.

블록이 평형 위치에서 x 거리만큼 벗어날 때 블록의 미분 운동 방정식은 다음과 같습니다.

여기서, h=H/m, 위 방정식은 점성 감쇠가 있는 단일 자유도의 강제 진동에 대한 미분 방정식으로, 2차 상수 계수 선형 비균질 일반 미분 방정식입니다.

위의 방정식은 회로 이론에서 배운 2차 상수 계수 선형 비균질 편미분 방정식인 용량성 부하 전압 응답 식과 완전히 일치합니다.

저항은 에너지를 소비할 뿐 저장하지 않기 때문에 회로의 감쇠는 저항에 따라 달라집니다.

단순 고조파 여기 하에서 감쇠 시스템의 미분 운동 방정식의 총 해는 다음과 같이 설정됩니다:

여기서, x1(t)는 자유 감쇠 진동인 균질 용액입니다;

댐핑이 존재하기 때문에 일정 시간이 지나면 댐핑된 진동 부분이 사라집니다.

그 해결책은 자유 진동과 동일하므로 여기서는 반복하지 않겠습니다.

여기서 우리는 특별한 솔루션 x에 대해 우려하고 있습니다.₂ (t)로 표현할 수 있습니다:

그중에서도,

정상 상태 강제 진동의 진폭과 위상 지연은 초기 조건과 무관하며 시스템 및 여기의 특성에 따라 달라집니다.

주파수 비율, 감쇠 비율 및 진폭 증폭 계수를 다음과 같이 설정합니다:

위의 공식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다:

이를 바탕으로 강제 진동에 따른 시스템의 반응을 알 수 있습니다.

이해를 돕기 위해 다양한 감쇠비, 주파수 비율 및 진폭 증폭 계수 간의 관계를 예로 들어 설명할 수 있습니다. 주파수는 저주파, 중주파, 고주파의 세 가지 영역으로 구분됩니다. 그림에서 볼 수 있듯이 저주파 및 고주파 영역 모두에서 댐핑은 진폭 증폭 계수에 미치는 영향이 미미합니다. 따라서 댐핑된 시스템은 계산을 쉽게 하기 위해 댐핑되지 않은 시스템으로 단순화할 수 있습니다.

고유 주파수 및 공진 주파수

고유 진동수는 시스템 구조적 특성의 고유한 특성으로, 댐핑과 같은 외부 요인과는 무관하게 질량과 강성에 의해서만 결정됩니다. n 자유도 시스템에는 n개의 고유 진동수가 존재하지만, 연속 시스템에는 무한한 수의 고유 진동수가 존재합니다.

공진은 외부 여기 주파수가 시스템의 고유 주파수와 거의 일치하거나 일치할 때 발생하며, 이로 인해 구조가 크게 증가된 진폭으로 진동하게 됩니다. 이 현상은 첨부된 그림에서 파란색 원으로 표시됩니다. 공진 주파수는 댐핑이 약한 시스템에서는 고유 진동수에 근접하는 경우가 많지만, 댐핑이 심한 구조에서는 고유 진동수에서 벗어날 수 있으며, 일반적으로 고유 진동수보다 낮습니다.

시스템 설계 시 특정 공진 피크 주파수뿐만 아니라 그림의 중간 주파수 영역에 해당하는 주변 공진 대역도 피하는 것이 중요합니다. 이 대역에서는 시스템 응답이 상당히 증폭된 상태로 유지되므로 이러한 주의가 필요합니다. 엔지니어는 시스템의 정상 작동이나 주변 장비의 외부 자극이 이 임계 범위에 속하지 않는지 확인해야 합니다.

공명은 유익할 수도 있고 해로울 수도 있는 중대한 영향을 미칠 수 있습니다. 부정적인 영향으로는 리프팅 빔의 붕괴, 헬리콥터의 지면 공명, 기계 손상, 초음파로 인한 구조적 결함 등이 있습니다. 반대로 공명은 악기에서 원하는 음색과 고조파를 만들기 위해 의도적으로 활용되기도 합니다.

공명과 관련된 위험을 완화하기 위해 디자이너는 다양한 전략을 사용합니다:

1. 주파수 튜닝: 작동 주파수 범위를 피하기 위해 시스템의 고유 주파수를 조정합니다.
2. 댐핑 강화: 진동 에너지를 소멸시키는 재료 또는 메커니즘을 통합하는 것입니다.
3. 구조적 보강: 강성을 높여 고유 주파수를 변경하고 진폭을 줄입니다.
4. 진동 차단: 외부 자극의 전달을 최소화하는 시스템을 구현합니다.
5. 능동적 제어: 센서와 액추에이터를 활용하여 실시간으로 공진 진동에 대응합니다.

공진을 이해하고 관리하는 것은 토목 공학 및 항공 우주부터 정밀 제조 및 악기 설계에 이르기까지 다양한 분야에서 필수적입니다. 유한 요소 분석 및 실험 모달 분석과 같은 고급 분석 도구는 복잡한 시스템에서 공진 거동을 예측하고 특성화하는 데 중요한 역할을 합니다.